Nel presente lavoro, diviso in tre parti, si considera un sistema reale sci-sciatore, \( \Sigma_{R} \), che scende lungo una traiettoria rettilinea \( l \) avente attrito costante; e lo si schematizza mediante un sistema olonomo \( \Sigma = A \cup U \) a un imprecisato numero \( n \ge 4 \) di gradi di libertà e a vincoli (non lisci) in parte unilaterali; e così per \( \Sigma \) possono considerarsi, per es., salti e «passi fatti con sci scivolanti». Delle \( n \) coordinate Lagrangiane di \( \Sigma \), due sono quelle Cartesiane \( \xi \) ed \( \eta \) del suo baricentro \( C \), relative all’asse discendente contenente \( l \) e all’asse ascendente e ortogonale ad \( l \) in un piano verticale; le altre vanno riguardate come controlli, in quanto hanno valori determinabili istante per istante dallo sciatore. Per \( \Sigma \) si considerano quattro leggi alternative per la resistenza dell’aria, A2.5,1-A2.5,4, di semplicità crescente. In tutte il risultante \( m \mathcal{R} \) di questa resistenza è considerato parallelo a \( l \) e indipendente dalle eventuali asimmetrie di \( \Sigma \) rispetto al piano verticale per \( l \). Brevemente, nelle A2.5,2-A2.5,4 \( m \mathcal{R} \) è indipendente dalla configurazione \( \mathcal{C}_{U} \) dello sciatore rispetto agli sci, supposti sempre paralleli ad \( l \). Secondo la A2.5,3 \( m \mathcal{R} \) è lineare nella velocità ma non necessariamente di tipo viscoso; secondo la A2.5,4 è \( m \mathcal{R} \equiv 0 \). Nella Parte 1, dopo i suaccennati preliminari, si scrivono le equazioni dinamiche di \( \Sigma \) in forma opportuna in modo che, ammessa la A2.5,3, si possa ricavare un certo integrale primo indipendente dai controlli, nonostante questi permettano di alzare e abbassare \( C \), il che influisce sulla velocità \( \dot{\xi} \) di \( C \) a causa dell’attrito. Date le condizioni iniziali, questo integrale primo è una relazione tra \( \xi, \eta, \dot{\xi}, \dot{\eta} \) e il tempo \( t \). Nel caso di resistenza dell’aria trascurabile, esso è ulteriormente integrabile; \( \xi \) risulta allora determinata da \( \eta \) e dal tempo \( t \). I suddetti risultati sono semplici; e conviene qui notare che il presente lavoro non è di rifinitura; invece, per es., le sue Parti 2 e 3 sono completamente basate sul suaccennato risultato valido per \( m \mathcal{R} \equiv 0 \); e trattano due problemi di particolare interesse per \( \Sigma_{R} \) in connessione con le gare e quindi col turismo. Ciò accade in quanto, in base a fatti ben noti sullo sci, un artifizio permette di usare le conclusioni della detta trattazione, in modo da ottenere interessanti buone informazioni su \( \Sigma_{R} \) anche nel caso che, per \( \Sigma_{R} \), \( m \mathcal{R} \) sia praticamente costante e magari grande. Alla fine della Parte 1 si mostra, riferendosi a una legge di resistenza dell’aria più generale della A2.5,2, che nonostante il lavoro negativo dell’attrito in un dato intervallo di tempo \( \left[0, T \right] \) possa ridursi piccolo a piacere mediante «passi fatti con sci scivolanti», ciò in sostanza non influisce affatto sulla lunghezza \( \xi(T ) - \xi(0) \) del tratto di pista «percorso» da \( C \) in \( \left[0, T \right] \). Ragionevolmente questi risultati appaiono validi con buona approssimazione; e quindi resta «spiegato» perché in realtà i detti passi non si fanno. Nella Parte 2, trascurando la resistenza dell’aria, si considera il problema seguente: Problema 9.1. Dato \( \bar{\xi} > 0 \), come minimizzare il tempo \( \bar{t} (> 0) \) in cui l’ascissa \( \xi \) di descrive l’intervallo di pista \( \left[0, \bar{\xi} \right] \), sotto assegnati dati iniziali? Esso riguarda lo sci da discesa mentre gli unici pochissimi lavori sullo sci, a conoscenza dell’autore e che non si riferiscano a lavori di questo, considerano solo salti dal trampolino; inoltre il Problema 9.1 differisce dai precedenti problemi sullo sci trattati dall’autore (magari con collaboratori) per la presenza in esso dell’attrito, resistenza dell’aria e vincoli unilaterali. Per gli stessi motivi l’attuale sistema \( \Sigma \) non può riguardarsi come un caso speciale di qualche sistema olonomo a cui l’autore ha applicato la teoria dei controlli (eventualmente con collaboratori). In relazione a ciò, invece di risolvere il Problema 9.1 con questa teoria (principio di massimo di Pontriagin), conviene associargli il seguente: Problema 6.1. Dato \( T > 0 \) e le condizioni iniziali at \( t = 0 \), come massimizzare la lunghezza \( \xi (T) - \xi (0) \) del tratto di pista «percorso» da \( C \) nel tempo \( T \)? Si trovano \( \infty^{\infty} \) soluzioni di questo problema in \( C^{1} \bigcap PC^{2} \), ossia ben più regolari delle soluzioni (in \( L^{1} \)) assicurate dal più noto teorema di esistenza in teoria dei controlli (se applicabile). Infine si mostra che le soluzioni dei Problemi 6.1 e 9.1 sono le stesse per \( T \) e \( \bar{\xi} \) legati da una certa relazione. I valori ottimali di \( \xi (T) \) e \( \bar{t} \) nei suddetti problemi possono esprimersi mediante i dati, indipendentemente dai moti ottimali di \( \Sigma \). Si considerano varie proprietà di questi moti. Alcune di esse mostrano che in genere lo sciatore può influire ben poco sui valori di \( \xi (T) \) e \( \bar{t} \). La Parte 3 riguarda i moti di \( \Sigma \) senza salti, ossia i più comuni. Tra l’altro, riferendosi a questi, si limita superiormente la suddetta piccola influenza dello sciatore. Inoltre per ogni \( t \in \left[ 0, T \right[ \) si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'estendibilità di un moto senza salti in \( t \in \left[ 0, t \right] \) ad un tale moto in \( t \in \left[ 0, T \right] \). Si mostra, tra l’altro, che ciò può essere utile per realizzare lo sciatore \( U \) come un robot, al fine di confrontare moti reali di \( \Sigma_{R} \), largamente arbitrari ma senza salti, con i corrispondenti moti di \( \Sigma \) considerati nella teoria sviluppata nella Parte 2, ove si assume \( m \mathcal{R} \equiv 0 \); l'artifizio su accennato permette di riferire il detto confronto a casi reali interessanti in cui \( m \mathcal{R} \) sia approssimativamente costante e magari grande.