In precedenti lavori abbiamo considerato una classe \( \mathcal{OP} \) di problemi di ottimizzazione di Boltz per sistemi meccanici Lagrangiani, nei quali è rilevante una linea \( l = l_{\gamma(\cdot)} \), considerata come determinata dalla sua funzione (variabile) di curvatura \( \gamma(\cdot) \) di dominio \( \left[ s_{0},s_{1} \right] \). Il problema \( \widetilde{\mathcal{P}} \in \mathcal{OP} \) sia regolare ma abbia carattere impulsivo monotono nel senso che \( \gamma(\cdot) \) sia monotona e con \( |\gamma '(\cdot)| \) molto grande vicino a ciascuno di alcuni punti \( \delta_{1}, \ldots ,\delta_{\nu} \). In[10] abbiamo costruito un procedimento entro la teoria del controllo impulsivo, atto a semplificare \( \widetilde{\mathcal{P}} \) in un problema strutturalmente discontinuo \( \mathcal{P} \). Ciò è analogo al trattare una palla da bigliardo, anziché per es. con la teoria dell'elasticità, considerandola come un corpo rigido rimbalzante secondo un opportuno coefficiente di restituzione. Qui estendiamo la su accennata trattazione in [10] al caso che il carattere impulsivo di \( \widetilde{\mathcal{P}} \) sia non monotono. Siano \( c_{r,0}, \ldots , c_{r,m_{r}} \) i successivi massimi e minimi di \( \gamma(\cdot) \) o di \( - \gamma(\cdot) \) nella vicinanza di \( \delta_{r} (r = 1, \ldots, \nu) \). Nel costruire il problema \( \mathcal{P} \) semplificante e approssimante \( \widetilde{\mathcal{P}} \), come in [10] è ora essenziale considerare una linea \( l_{c(\cdot)} \) approssimante \( l_{\gamma(\cdot)} \) con \( c(\cdot) \) discontinua solo in \( \delta_{1}, \ldots, \delta_{\nu} \) e con \( |c'(\cdot)| \) mai molto grande; inoltre ora si deve tener conto delle suddette quantità \( c_{r,0} , \ldots , c_{r,m_{r}} \) per es., attraverso il «tipo di non monotonia» in \( \delta_{r} \), che svanisce nel caso monotono \( (r = 1, \ldots, \nu) \). Partendo da [10] estendiamo alla suddetta situazione generale le nozioni di estremo inferiore debole \( J^{*} \) del funzionale da minimizzare, processo ammissibile esteso (che ha parti addizionali in \( \left[ c_{r,i-1},c_{r,i} \right] \)) e soluzione estesa del problema \( \mathcal{P} \), o meglio \( ( \mathcal{P}_{\nu}; \sigma_{r,1}, \ldots , \sigma_{r,m_{r}} ) \) ove \( \sigma_{r,i} = c_{r,i} —c_{r,i-1} \)\( (i = 1, \ldots , m_{r}; r = 1, \ldots , \nu) \). Nel caso generale consideriamo pure il problema originale (impulsivo) esteso e il funzionale esteso da minimizzare. Questo ha parti impulsive nei punti \( \delta_{1} , \ldots , \delta_{\nu} \), al pari dei vincoli differenziali, delle equazioni complementari e delle condizioni di ottimizzazione di Pontrjagin. Oltre alle condizioni ai limiti in \( s_{0} \) ed \( s_{1} \) vi sono condizioni di giunzione in \( \delta_{1} , \ldots , \delta_{\nu} \). Nel detto caso generale enunciamo una versione del principio di massimo di Pontrjagin e un teorema di esistenza per il problema (impulsivo) esteso. Studiamo anche alcune proprietà di \( J^{*} \), tra l'altro quando esso è minimo debole. In particolare, nel caso monotono o no, mostriamo che la quantità \( J^{*} \), definita come un certo limite inferiore, eguaglia l'analogo limite; e ciò è praticamente una condizione necessaria e sufficiente affinché la presente teoria di approssimazione, iniziata in [10], sia soddisfacente.