In [1] I and II si dimostrano vari teoremi di equivalenza; per es., un'equazione differenziale ordinaria $(\mathcal{E}) \dot{z} = F(t,z,u,\dot{u}) \, (\in \mathbb{R}^{m})$ contenente un controllo scalare $u = u(\cdot)$, è lineare in $\dot{u}$ se e solo se $(\alpha)$ la soluzione $z(u,\cdot)$ di $(\mathcal{E})$ con date condizioni iniziali (scelte ad arbitrio) è continua rispetto ad $u$ in un certo senso, oppure se e solo se $(\beta)$$z(u, \cdot)$ verifica certe condizioni che permettono di trattare soddisfacentemente i casi di discontinuità di prima specie per $u$ e $\dot{u}$. Nel caso che per $z = (q, p)$ la $(\mathcal{E})$ sia un sistema semi-Hamiltoniano, equivalente ad un sistema di equazioni di Lagrange di tipo generale, l'importanza e magari l'irrinunciabilità in molte situazioni, delle condizioni accennate in $(\alpha)$ e $(\beta)$ è motivata, in [1] II, con considerazioni intuitive. Nel presente lavoro, alcune di esse sono sostituite con teoremi rafforzando così l'importanza della su accennata linearità. Per es., grosso modo, si dimostra che questa segue dalla continuità della sola $u \vdash q ( u , \cdot)$ nel senso su accennato. Nel caso semi-Hamiltoniano suddetto, si dimostra pure un teorema di invarianza della linearità della $(\mathcal{E})$ in $\dot{u}$, rispetto a certe trasformazioni di co-ordinate Lagrangiane.