Sulla base di risultati ottenuti in [2] o [5] - quali i Lemmi 8.1 e 10.1 - si mostra come applicare ai sistemi Lagrangiani i teoremi generali sulla controllabilità, considerati nella Nota I. Nel caso che $\Sigma$, $\chi$ ed $M$ verifichino le condizioni (11.7) con $\mathcal{Q}$ polinomio nelle $\dot{\gamma}$ si mostra che le condizioni (C) - ossia le (11.8) e le (11.7) con $\mathcal{Q} \equiv 0$ - sono necessarie per poter trattare soddisfacentemente moti iper-impulsivi di $\Sigma$ (in cui anche le posizioni posson subire discontinuità di $1^{a}$ specie). Si fa quanto sopra da un punto di vista generale, riferendosi dapprima ad un sistema matematico $(\mathcal{M}) \dot{z} = F(t, \gamma, z , \dot{\gamma})$ polinomiale in $\dot{\gamma}$ e con $z \in \mathbb{R}^{m}$ e $\gamma \in \mathbb{R}^{M}$. La suddetta trattazione si considera soddisfacente se, ad un generico istante $t$, (i) i valori anteriori $z^{-}$ e $\gamma^{-}$ di $z$ e $\gamma$, e $\gamma^{+}$, determinano $z^{+}$ in un certo modo fisicamente naturale e basato su successioni $\{\gamma_{n} (\cdot)\}$ e $\{z_{n} (\cdot)\}$ di funzioni regolari approssimanti le discontinuità $(\gamma^{-},\gamma^{+})$ e $(z^{-},z^{+})$ di $\gamma(\cdot)$ e $z (\cdot)$, (ii) fissati $z^{-}$ e $\gamma^{-}$, $z^{+}$ risulta funzione continua di $\gamma^{+}$ e (iii) quando $\gamma^{+}$ tende a $\gamma^{-}$, $z (\cdot)$ tende ad una funzione continua e le $z_{n}(\cdot)$ si comportano in un certo modo naturale per certe semplici scelte delle $\gamma_{n}(\cdot)$. Se M > 1, le (i)-(iii) son verificate solo in casi molto eccezionali. Allora si considerano le loro versioni (1-dimensionali) (a)-(c) in cui le (i)-(iii) valgono, per così dire, lungo una traiettoria $\tilde{\gamma}$ ($\in C^{3}$) di $\gamma(\cdot)$ con estremi $\gamma^{-}$ e $\gamma^{+}$ e prefissata ad arbitrio, nel senso che $\tilde{\gamma}$ è la traiettoria di tutte le $\gamma_{n}(\cdot)$, ossia $\gamma_{n}(t) = \tilde{\gamma} \left[ u_{n} (t) \right]$. Inoltre si mostra che una certa versione debole (di una parte) delle condizioni (a)-(c) implica la linearità di $(\mathcal{M})$ in $\dot{\gamma}$. Viceversa questa linearità implica una certa versione forte delle (a)-(c), nel qual caso dico che $(\mathcal{D})$ il parametro ($M$-dimensionale) $\gamma$ di $(\mathcal{M})$ è adatto a subire discontinuità (1 -dimensionali, di $1^{a}$ specie). Riguardo alla terna $(\Sigma,\chi,M)$, v. Sommario in Nota I , per $m = 2N$, $\chi=(q, \gamma)$ e $z=(q,p)$ con $p_{h} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}^{h}}$$(h=1,...,N)$, il sistema differenziale $(\mathcal{M})$ può identificarsi con le equazioni dinamiche di $\Sigma_{\tilde{\gamma}}$ in forma hamiltoniana. Allora la loro linearità rispetto alle $\dot{\gamma}$ risulta condizione necessaria e sufficiente affinché le co-ordinate $\chi$ di $\Sigma$ siano $M$-adatte a (subire) iper-impulsi (1-dimensionali) nel senso che valga $(\mathcal{D})$.