Sia $p$ un numero primo, $n$ un intero $\geq 1$, e $G$ un $p$-gruppo finito non abeliano e non hamiltoniano. Si dice che $G$ appartiene ad $S(p^{n})$ se i sottogruppi non normali di $G$ hanno tutti ordine $p^{n}$. In un Nota precedente [3] sono stati determinati tutti i gruppi appartenenti a $S(p^{n})$ ($p$ dispari, $n \geq 1$), tutti quelli appartenenti ad $S(2)$ e tutti i gruppi di esponente $4$ appartenenti ad $S(4)$. Nella presente Nota si determinano tutti i gruppi appartenenti ad $S(2^{n})$ ($n \geq 2$) e di esponente $> 4$, e in tal modo è completata la classificazione dei gruppi in $S(p^{n})$ per tutti i numeri primi $p$ e per tutti i valori di $n \geq 1$.