La logica trivalente di Kleene è presentata in un linguaggio che comprende, oltre alle costanti booleane, anche un simbolo per il valore di verità intermedio $n$. Parallelamente si sviluppa la semantica utilizzando la classe delle DMF-algebre al posto della classe più estesa costituita dalle algebra di De Morgan. Si introduce quindi un calcolo di sequenti che viene dimostrato completo rispetto alla semantica trivalente. La dimostrazione di completezza è fondata su una versione del teorema dell'ideale primo tipica delle DMF-algebre. La dimostrazione è interamente algebrica solo per quanto riguarda il teorema di completezza debole. La dimostrazione della versione forte del teorema di completezza utilizza metodi topologici, in particolare il teorema di Tychonoff sul prodotto di spazi compatti.