Si dimostrano, senza ricorrere alla teoria dei caratteri (mod. a) e modificando un procedimento già usato in una piccola Nota precedente, due teoremi dei quali: il primo si accosta al classico teorema di Dirichlet relativo all’esistenza di infiniti numeri primi nella progressione aritmetica $ax + b$ con $(a, b) = 1$ (e nei casi particolari $a = 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 30$ dà lo stesso risultato del Dirichlet) e il secondo si accosta al teorema di Bertrand-Tchebychef, esteso alle progressioni aritmetiche, relativo all’esistenza di numeri primi in segmenti abbastanza ampi di tali progressioni (e nei casi particolari $a = 4, 6, 12$ perviene alla forma classica del Bertrand).