Nella $1^a$ e $2^a$ parte sono esposte le linee generali di una costruzione sistematica della teoria delle corrispondenze $T \equiv (\alpha, \beta)$ fra i punti di due superfìcie. Si studia l'effetto che $T$ produce sui sistemi di curve delle due superficie, sui loro integrali semplici di $1^a$ specie e sui loro cicli lineari e tridimensionali. Si definiscono i concetti di corrispondenza a valenza, il concetto di base e si estende un principio di corrispondenza dovuto allo Zeuthen. Nella $3^a$ parte si pongono le basi di una possibile teoria delle serie di gruppi di punti di una superficie mediante il concetto di serie di livello.