Cantor ebbe subito chiaro, all'inizio della sua costruzione dei numeri transfiniti, nei primi anni ottanta del diciannovesimo secolo, che non tutte le collezioni concepibili possono essere ammesse come insiemi; la totalità degli ordinali era per lui un simbolo dell'Assoluto; in matematica conduceva ad antinomie; cercò di escluderle plasmando un'adeguata ma ambigua definizione di “insieme”; negli ultimi anni del secolo, nella corrispondenza con Hilbert e Dedekind, egli fu tentato tuttavia dall'usare tali collezioni per chiudere le grandi questioni aperte della teoria, come la confrontabilità dei cardinali e il teorema del buon ordine, che saranno chiarite in seguito da Zermelo.
Referenze Bibliografiche
[Borel 1898] E. BOREL, Leçons sur la Théorie des Fonctions, Gauthier-Villars, Paris, 1898.
[Burali-Forti 1894]
C. BURALI-FORTI, “
Sulle classi ordinate e i numeri transfiniti”,
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,
8 (
1894), pp. 169-79. |
Zbl 25.0658.02[Burali-Forti 1897a] C. BURALI-FORTI, “Una questione sui numeri transfiniti”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11 (1897), pp. 154-64; trad inglese in [van Heijenoort 1967, pp. 104-11].
[Burali-Forti 1897b] C. BURALI-FORTI, “Sulle classi bene ordinate”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11 (1897), p. 260; trad. inglese in [van Heijenoort 1967, pp. 111-2].
[Cantor 1879-84]
G. CANTOR, “
Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”,
Mathematische Annalen,
15 (
1879), pp. 1-7;
17 (
1880), pp. 355-58;
20 (
1882), pp. 113-21;
21 (
1883), pp. 51-8 e 545-91;
23 (
1884), 453-88. |
fulltext (doi) |
MR 817207[Cantor 1883] G. CANTOR, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Teubner, Leipzig, 1883, pubblicazione separata della parte 5 di [Cantor 1879-84].
[Cantor 1886] G. CANTOR, “Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche”, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 88 (1886), pp. 224-33.
[Cantor 1887-88] G. CANTOR, “Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten”, Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik 91 (1887), pp. 81-125; 92 (1888) pp. 240-65.
[Cantor 1895-97]
G. CANTOR, “
Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre”,
Mathematische Annalen,
46 (
1895), pp. 481-512 e
49 (
1897), pp. 207-46. |
fulltext EuDML |
fulltext (doi) |
MR 1510964[Cantor 1932]
G. CANTOR,
Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts (a cura di
E. Zermelo),
Springer, Berlin,
1932. |
fulltext (doi) |
MR 1562903[Cantor e Dedekind 1937] G. CANTOR e R. DEDEKIND, Cantor-Dedekind Briefwechsel (a cura di E. Noether e J. Cavaillès), Hermann, Paris, 1937; trad. franc. in [Cavaillès 1962, pp. 187249]; trad. it. a cura di P. Nastasi, in “Pristem/Storia - Note di Matematica, Storia, Cultura”, vol. 6, Springer Italia, Milano, 2002, pp. 134.
[Cavaillès 1962] J. CAVAILLÈS, Philosophie mathématique, Hermann, Paris, 1962.
[Dauben 1979]
J. W. DAUBEN,
Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite,
Harvard Univ. Press, Cambridge MA,
1979. |
MR 525577[Dedekind 1888]
R. DEDEKIND,
Was sind und was sollen die Zahlen,
Braunschweig, Leipzig,
1888; trad. it. di O. Zariski, col titolo Essenza e significato dei numeri, in [Dedekind 1983, pp. 7-118], e di F. Gana col titolo Che cosa sono e a che servono i numeri? in [Dedekind 1983, pp. 79-128]. |
MR 106846[Dedekind 1926] R. DEDEKIND, Essenza e significato dei numeri. Continuità e numeri irrazionali (a cura di O. Zariski), Casa Editrice Alberto Stock, Roma, 1926.
[Dedekind 1983] R. DEDEKIND, Scritti sui fondamenti della matematica (a cura di F. Gana), Bibliopolis, Napoli, 1983.
[Dugac 1976a]
P. DUGAC,
Richard Dedekind et les fondements des mathématiques,
Vrin, Paris,
1976. |
MR 485079[Ewald 1996]
W. B. EWALD,
From Kant to Hilbert, 2 voll.,
Oxford Univ. Press, Oxford,
1996. |
MR 1465678[Ferreirós 2007]
J. FERREIRÓS,
Labyrinth of Thought,
Birkhäuser, Basel,
2007. |
MR 2348484[Frege 1892] G. FREGE, recensione di scritti di Cantor degli anni ottanta sulla Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, ivi, 100 (1892), pp. 269-72.
[Frege 1983] G. FREGE, Alle origini della nuova logica, epistolario, Bollati Boringhieri, Torino, 1983.
[Gödel 1940]
K. GÖDEL,
The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory,
Annals of mathematics studies, vol.
3,
Princeton Univ. Press, Princeton,
1940; trad. it. con note aggiunte nel 1951 e nel 1966 in [Gödel 2002, pp. 36-106] |
MR 2514[Gödel 2002] K. GÖDEL, Opere, vol. 2, Bollati Boringhieri, Torino, 2002.
[Grattan-Guiness 1977] I. GRATTAN-GUINESS, Dear Russell-Dear Jourdain, Duckworth, London, 1977.
[Grattan-Guiness 2000]
I. GRATTAN-GUINESS,
The Search for Mathematical Roots 1870-1940,
Princeton Univ. Press, Princeton,
2000. |
MR 1807717[Hadamard 1898] J. HADAMARD, “Sur certain applications possibles de la théorie des ensembles”, in F. Rudio (hrsg.), Verhandlungen des I Internationalen Mathematiker-Kongresses, Teubner, Leipzig, 1898, pp. 311-2.
[Hallett 1984]
M. HALLETT,
Cantorian Set Theory ad Limitation of Size,
Clarendon Press, Oxford,
1984. |
MR 765076 |
Zbl 0656.03030[Hardy 1903]
G. H. HARDY, “
A Theorem Concerning the Infinite Cardinal Numbers”,
Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics,
35 (
1903), pp. 87-94. |
Zbl 34.0077.02[Hilbert 1900a]
D. HILBERT, “
Über den Zahlbegriff”,
Jahresberichte der DMV,
8 (
1900), pp. 180-4; trad. it. in [Hilbert 1978, pp. 139-43]. |
fulltext EuDML |
Zbl 31.0165.02[Hilbert 1900b]
D. HILBERT, “
Mathematische Probleme”,
Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
1900, pp. 253-97; trad. it. parziale in [Hilbert 1978, pp. 145-62]. |
fulltext EuDML[Hilbert 1978]
D. HILBERT,
Ricerche sui fondamenti della matematica (a cura di
M. V. Abrusci),
Bibliopolis, Napoli,
1978. |
MR 850261[Jourdain 1904]
P. B. E. JOURDAIN, “
On the Transfinite Cardinal Numbers of Well-Ordered Aggregates”,
Philosophical Magazine, (6)
7 (
1904), pp. 61-75. |
Zbl 35.0089.05[Kanamori 2012]
A. KANAMORI, “
In Praise of Replacement”,
Bulletin of Symbolic Logic,
18 (
2012), n. 1, pp. 46-90. |
MR 2798268 |
Zbl 1258.03001[Lolli 2011]
G. LOLLI,
Nascita di un'idea matematica,
Edizioni della Normale, Pisa,
2011. |
Zbl 1270.03012[Meschkowski e Nilson 1991] H. MESCHKOWSKI e W. NILSON, Georg Cantor: Briefe, Springer, Berlin, 1991.
[Moore 1976]
G. H. MOORE, “
Ernst Zermelo, A. E. Harward, and the axiomatization of set theory”,
Historia Mathematica 3 (2) (
1976), pp. 206-209. |
fulltext (doi) |
MR 490817 |
Zbl 0328.01010[Purkert e Ilgauds 1987]
W. PURKERT e
H. J. ILGAUDS,
Georg Cantor 1845-1918,
Birkhäuser, Basel,
1987. |
fulltext (doi) |
MR 863578[Russell 1902]
B. RUSSELL, “
Théorie générale des séries bien-ordonnées”,
Rivista di Matematica,
8 (
1902), pp. 12-6 e 17-43. |
Zbl 33.0076.03[Russell 1903] B. RUSSELL, The principles of mathematics, George Allen & Unwin, 1903; trad. it. I principi della matematica, Longanesi, Milano, 1963.
[Schröder 1898] E. SCHRÖDER, “Uber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor'sche Sätze”, Deutsche Academie der Naturforscher, Nova Acta Leopoldina, 71 (1898), pp. 303-62.
[van Heijenoort 1967]
J. VAN HEIJENOORT (ed.),
From Frege to Gödel,
Harvard Univ. Press, Cambridge MA,
1967. |
MR 1890980[von Neumann 1925]
J. VON NEUMANN, “
Eine Axiomatisierung der Mengelehre”,
Journal für die reine und ungewandte Mathematik (Crelle's),
154 (
1925), pp. 219-40; trad. inglese in [van Heijenoort 1967, pp. 393-413]. |
fulltext EuDML |
fulltext (doi) |
MR 1581062[Zermelo 1904]
E. ZERMELO, “
Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe)”,
Mathematische Annalen,
59 (
1904), pp. 514-6; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 139-41]. |
fulltext EuDML |
fulltext (doi) |
MR 1511281 |
Zbl 35.0088.03[Zermelo 1908a]
E. ZERMELO, “
Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung”,
Mathematische Annalen,
65 (
1908), pp. 107-28; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 183-98]. |
fulltext EuDML |
fulltext (doi) |
MR 1511462[Zermelo 1908b]
E. ZERMELO, “
Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”,
Mathematische Annalen,
65 (
1908), pp. 261-81; trad. ingl. in [van Heijenoort 1967, pp. 199-215]. |
fulltext EuDML |
fulltext (doi) |
MR 1511466
Con il contributo del Ministero per i Beni e le Attività Culturali