Sia $\mathcal{I}_{(\infty)}$ l'insieme delle isometrie con rango finito di uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ ad infinite dimensioni. Si prova che $\mathcal{I}_{(\infty)}$ è una sottovarietà regolare dello spazio di Hilbert $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$ degli operatori di Hilbert-Schmidt di $\mathcal{H}$, e che ciascuna componente connessa è l'insieme $\mathcal{I}_{N}$, che consiste di tutte le isometrie parziali di rango $N < \infty$. Inoltre, $\mathcal{I}_{(\infty)}$ è uno spazio omogeneo di $\mathcal{U}_{(\infty)} \times \mathcal{U}_{(\infty)}$, dove $\mathcal{U}_{(\infty)}$ è il classico gruppo di Banach-Lie degli operatori unitari di $\mathcal{H}$, che sono perturbazioni di Hilbert-Schmidt dell'identità. Si introducono due metriche Rimanniane in $\mathcal{I}_{(\infty)}$: una per mezzo del prodotto interno di $\mathcal{B}_{2}(\mathcal{H})$, l'altra utilizzando il gruppo d'azione. Si prova che le due metriche sono equivalenti e complete.