Formica, Maria Rosaria and Sbordone, Carlo:
On the $G$-convergence of Morrey operators (Sulla $G$-convergenza degli operatori di Morrey)
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni Serie 9 14 (2003), fasc. n.1, p. 33-49, (English)
pdf (510 Kb), djvu (182 Kb). | MR2057273 | Zbl 1105.35030
Sunto
Seguendo Morrey [14], ad ogni matrice simmetrica $A(x)$ a coefficienti misurabili, tale che
$$\frac{|\xi|^{2}}{K} \le (A(x) \xi,\xi) \le K |\xi|^{2} \quad \text{a.e.} \quad x \in \Omega, \, \forall \xi \in \mathbb{R}^{2},$$$\Omega \in \mathbb{R}^{2}$ e ad ogni $u \in W^{1,2}(\Omega)$ si può associare un'altra matrice simmetrica $\mathcal{A} = \mathcal{A}(A,u)$ con $det \, \mathcal{A} = 1$ e soddisfacente
$$\frac{|\xi|^{2}}{K} \le (\mathcal{A}(x) \xi,\xi) \le K |\xi|^{2} \quad \text{a.e.} \quad x \in \Omega, \, \forall \xi \in \mathbb{R}^{2},$$
La principale proprietà di $\mathcal{A}$ è che $\mathcal{A} \nabla u = A \nabla u$, se $\nabla u \neq 0$. Si studiano le proprietà di $\mathcal{A}$ come funzione di $A$ e di $u$. In particolare, si dimostra che, se $A_{b} \rightarrow^{G} A$, $u_{b} \rightharpoonup u$, $\nabla u \neq 0$ and $div \, A_{b} \nabla u_{b} = 0$ then $\mathcal{A} (A_{b},u_{b}) \rightarrow^{G} \mathcal{A} (A, u)$.
Referenze Bibliografiche
[2]
E. DE GIORGI,
Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico.
Boll. U.M.I.,
1,
1968, 135-137. |
MR 227827 |
Zbl 0155.17603[4]
M.R. FORMICA,
On the $\Gamma$-convergence of Laplace-Beltrami operators in the plane.
Annales Academiae Scientiarum Fennicae Matematica, vol.
25,
2000, 423-438. |
fulltext EuDML |
MR 1762427 |
Zbl 0955.30016[5]
M.R. FORMICA,
Degenerate Elliptic Operators with coefficients in EXP. Ph.D. thesis, Università di Napoli «Federico II»,
2001. |
Zbl 1053.47510[6]
M.R. FORMICA,
Beltrami operators in the plane. Preprint n. 6, Aracne editrice, Roma
2002. |
MR 1979563 |
Zbl 1098.47517[7]
G.A. FRANCFORT -
F. MURAT,
Optimal bounds for conduction in two-dimensional, two-phase, anisotropic media. In:
R.J. KNOPS -
A.A. LACEY (eds.),
«Nonclassical» continuum mechanics.
London, Math. Soc. Lecture Notes Series,
122, Cambridge
1987, 197-212. |
fulltext (doi) |
MR 926503 |
Zbl 0668.73018[8]
M. GIAQUINTA,
Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems.
Ann. of Math. Studies,
105,
Princeton Univ. Press,
1983. |
MR 717034 |
Zbl 0516.49003[9]
L. GRECO -
C. SBORDONE,
Sharp upper bounds for the degree of regularity of the solutions to an elliptic equation.
Comm. P.D.E.,
27, 5-6,
2002, 945-952. |
fulltext (doi) |
MR 1916553 |
Zbl 1019.35021[12]
A.I. KOSHELEV,
Regularity of solutions of quasilinear elliptic systems.
Russian Math. Survey,
33,
1978, 1-52. |
MR 510669 |
Zbl 0413.35033[13] J. MALY, Finding equation from solutions. Draft 1999.
[14]
C.B. MORREY,
On the solution of quasilinear elliptic partial differential equations.
Trans. Amer. Math. Soc.,
43,
1938, 126-166. |
Jbk 64.0460.02[19]
S. SPAGNOLO,
Some convergence problems.
Symposia Mathematica,
XVIII,
1976, 391-397. |
MR 509184 |
Zbl 0332.46020