El Mehdi, Khalil and Pacella, Filomena:
Morse index and blow-up points of solutions of some nonlinear problems (Indice di Morse e punti di massimo di soluzioni di alcuni problemi non lineari)
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni Serie 9 13 (2002), fasc. n.2, p. 101-105, (English)
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Sunto
Si consideri il seguente problema $$
\begin{cases}
- \triangle u = N(N-2) u^{p_{\epsilon}} - \lambda u \, & \text{in } \Omega \\
u > 0 & \text{in } \Omega \\
u = 0 & \text{on } \partial \Omega.
\end{cases}
$$ dove $\Omega$ è un dominio regolare limitato e stellato in $\mathbb{R}^{N}$, $N \ge 3$, $p_{\epsilon} = \frac{N+2}{N-2} - \epsilon$, $\epsilon > 0$, e $\lambda \ge 0$. Si dimostra che se $u_{\epsilon}$ è una soluzione di indice di Morse m > 0 allora $u_{\epsilon}$ non può avere più di $m$ punti di massimo in $\Omega$, se $\epsilon$ è sufficientemente piccolo. Inoltre, se $\Omega$ è convesso si dimostra che ogni soluzione di indice di Morse $1$ ha un unico punto critico e gli insiemi di livello sono stellati, se $\epsilon$ è sufficientemente piccolo.
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