Si definisce la classe \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) dei gruppi \( G \) per i quali comunque si prendano due sottoinsiemi \( X \), \( Y \), esistono due elementi \( x \in X \), \( y \in Y \) tali che \( [x, \underbrace{y,\ldots,y}_{k}] = 1 \). Si prova che un gruppo infinito risolubile finitamente generabile nella classe \( \mathcal{E}_{k}^{*} \) è nella classe \( \mathcal{E}_{k} \) dei gruppi \( k \)-Engel. Inoltre, per \( k = 2 \) si è provato che se \( G \in \mathcal{E}_{2}^{*} \) è infinito e localmente risolubile od iperabeliano allora \( G \in \mathcal{E}_{2} \).