Bressan, Aldo:
Some chain rules for certain derivatives of double tensors depending on other such tensors and some point variables. I. On the pseudo-total derivative
Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Serie 8 80 (1986), fasc. n.3, p. 116-124, (English)
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Si considerano due spazi $S_{\mu}$ e $S_{\nu}^{\ast}$, Riemanniani e a metrica eventualmente indefinita, riferiti a sistemi di co-ordinate $\emptyset$ e $\emptyset_{\nu}^{\ast}$; e inoltre un doppio tensore $T^{\cdots}_{\cdots}$ associato ai punti $\emptyset^{-1} (x) \in S_{\mu}$ e $\emptyset^{\ast-1} (y) \in S^{\ast}$. Si pensa $T^{\cdots}_{\cdots}$ dato da una funzione $\widetilde{T}^{\cdots}_{\cdots}$ di $m$ altri tali doppi tensori e di variabili puntuali $x (\in \Re^{\mu})$, $t \in \Re$ e $y (\in \Re^{\nu})$; poi si considera la funzione composta $$\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y) = \widetilde{T}^{\cdots}_{\cdots} \bigl[ \underbrace{\breve{H}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y), ... ,\breve{H}^{\cdots}_{\cdots} (x,t,y)}_{1, \ldots, m}, x,t,y \bigr].$$ Nella Parte I si scrivono due regole per eseguire la derivazione totale di questa, connessa con una mappa $\widehat{\mathcal{E}}$$( = \widehat{\mathcal{E}}_{t})$ fra $S_{\nu}^{\ast}$ e $S_{\mu}$; una è a termini generalmente non covarianti e l'altra a termini (sempre) covarianti. Si applicano queste regole per esprimere il risultante $I^{\rho}$ degli sforzi in un corpo (iper-)elastico classico. Nella Parte II si scrivono due regole analoghe per la derivata assoluta di $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots}$, e altre due per la derivata Lagrangiana spaziale (o trasversa) $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots|R}$ di $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots}$. La $\widehat{T}^{\cdots}_{\cdots|R}$ è utile in Relatività generale o ristretta; e si applicano le due regole riferentesi ad essa per scrivere due espressioni di $I^{\rho}$ appunto nel caso di un corpo (iper-)elastico relativistico.
Referenze Bibliografiche
[1]
BRESSAN A. (
1963) -
Cinematica dei sistemi continui in Relatività generale. «
Ann. Mat. Pura Appl.», (IV)
62, 99. |
MR 160355 |
Zbl 0117.23502[3]
ERICKSEN J.L. (
1960) -
Tensor fields (Appendix),
Handbuch der Physik,
3 (1),
Springer Verlag, 794-858. |
MR 118005[4]
TRUESDELL C. and
TOUPIN R.A. (
1960) -
The classical field theories.
Handbuch der Physik,
3 (1),
Springer Verlag, 226-793. |
MR 118005