Sia $F \subset C^{\ast} (X)$ reticolo ed $\mathbb{R}$ spazio vettoriale che separa i punti dai chiusi. La compattificazione $e_{F}X$, ottenuta immergendo $X$ in un cubo reale mediante l'applicazione diagonale $e_{F}$, è in generale diversa dalla compattificazione di Wallman $\omega (Z(F))$. In questa nota si dimostra che esiste un reticolo $F_{z}$ contenente $F$ tale che $\omega (Z(F)) = \omega (Z(F_{z})) = e_{F}X$. Ciò implica in particolare che $\omega (Z(F)) \ge e_{F}X$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti affinché valga l'uguaglianza. Infine si dimostra che, se $\alpha X$ è una compattificazione di $X$ tale che $Cl_{\alpha X} (\alpha X \setminus X)$ è zero-dimensionale, allora esiste un'algebra $A$ di funzioni continue limitate definite su $X$ tale che $\omega (Z(A)) = e_{A} X = \alpha X$.