Si dimostra che, contrariamente ad una congettura di Sudbery, per ogni intero $n \ge 4$ e almeno per ogni primo $p \in (n,2n—2)$, esistono polinomi di grado $n$, su campi di caratteristica $p$, che non ammettono radici "libere" (diciamo che $\alpha$ è una radice libera di $f(x)$ se, detta $\mu$ la sua molteplicità, si ha $f^{(k)} (\alpha) \ne 0$ per ogni $k:\mu \le k \le n)$). Si esamina poi il caso particolare dei polinomi semplici, fornendo in proposito alcuni risultati e formulando una nuova congettura.