Viene dimostrata l'esistenza di soluzioni del problema di Darboux per l'equazione iperbolica $z^{\prime\prime}_{xy} = f(x,y,z,Z^{\prime}_{x},z_{y})$ sul planiquarto $x \ge 0$, $y \ge 0$. Qui, $f$ è una funzione continua, con valori in uno spazio Banach che soddisfano alcune condizioni di regolarità espresse in termini della misura di non-compattezza $\alpha$.