In questo lavoro si estende il concetto di campo di Hardy [Bou], al contesto dei germi di funzioni in più variabili che sono definite su insiemi semi-algebrici [Br.], [D.] e che risultano essere morfismi di categorie lisce [Pal.]. In tale contesto si dimostra che per ogni campo di Hardy di germi di una fissata categoria liscia $\mathcal{C}$, la sua chiusura algebrica relativa nell'anello $G \, \mathcal{C}$, di tutti i germi nella stessa categoria liscia, è un campo di Hardy reale chiuso, che è l'unica chiusura reale del campo di Hardy fissato nell'anello $G \, \mathcal{C}$ dei germi di funzioni continue. Viene quindi generalizzato un risultato di Robinson [R.], inerente i campi di Hardy tradizionali su $R$ rispetto alla categoria $C^{\infty}$ e dove i germi sono presi a $+ \infty$. Inoltre, per ogni categoria liscia $\mathcal{C}$ si definisce la classe dei «$\mathcal{C}$-campi» e si nota che lo stesso risultato sulla chiusura reale è valido in questo caso.