In questa Nota, dati uno spazio metrico perfetto $X$ ed un suo sottoinsieme $K$ chiuso e raro, si dimostra l'esistenza di una funzione continua $f : X \to [0 ,1]$ tale che $int(f^{-1}(t)) = \emptyset$ per ogni $t \in [0,1]$, $f(x)=0$ per ogni $x \in K$ e $f(y) = 1$ per qualche $y \in X \setminus K$. In particolare, ciò permette di dare risposta simultaneamente a due questioni poste in [2]. Si mettono in evidenza, poi, ulteriori conseguenze di tale risultato.