In questo lavoro si prova che un sistema ortogonale di funzioni di Bessel è una base nello spazio di Banach $L^{p}_{\beta} (0,1)$, $p > 1$, $-1 < \beta < p-1$. Se ne deduce che la serie di Dini di ogni funzione $f \in L^{p}_{\beta}$ converge a $f$ nella norma di $L^{p}_{\beta}$. Inoltre si dimostra, tramite un controesempio, che se la condizione $1 < \beta < p-1$ non è soddisfatta esiste una funzione di questa classe la cui serie di Dini diverge.