Si scrive l'equazione differenziale non-lineare del 2° ordine soddisfatta dalla funzione omogenea $y = [\pm m (au^{\beta}v^{\gamma} + bu^{j}v^{n})]^{k/m}$. Le funzioni $u$ e $v$ sono soluzioni dell'equazione lineare $y'' + r(x)y' + q(x)y = 0$; $a$ e $b$ sono costanti arbitrarie; e gli esponenti sono reali e non nulli. Come casi particolari delle equazioni ottenute in tal modo, si ha un'equazione modificata di Thomas-Fermi $y'' = (1 + c_{1}x^{\alpha} + c_{2}x^{2 \alpha}) x^{-1/2}y^{3/2}$, ed un'equazione modificata di Emden: $y'' = (1 + C_{1}x^{\alpha} + C_{2}x^{2 \alpha}) x^{1-M}y^{M}$. Le costanti $c_{1}$, $c_{2}$ e $C_{1}$, $C_{2}$ sono date esplicitamente.