È noto che se una variabile casuale $\xi$ segue la distribuzione di Cauchy, allora per ogni numero reale $\gamma$ la variabile casuale (*) $\eta = (\xi + \gamma) / (1-\gamma \xi)$ segue anch'essa la distribuzione di Cauchy. Inversamente se per ogni numero reale $\gamma$, $\xi$ e $\eta$ sono identicamente distribuite come in (*) allora questa distribuzione è di Cauchy. William [7] ha provato che questo teorema è vero se la distribuzione di $\xi$ e $\eta$ è identica quando $\gamma$ non è la tangente di un multiplo razionale di $\pi$. In questa Nota noi proviamo che il risultato di William può derivare da certe proprietà delle variabili casuali uniformemente distribuite rispetto a gruppi abeliani compatti. Per questa via si ottengono le caratterizzazioni di altre distribuzioni.