Questo lavoro è dedicato alla dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità di un controllo ottimo per un sistema lineare unidimensionale ben posto con parametro di controllo distribuito, mediante un integrale input-output in connessione con un funzionale quadratico. Ammissibili controlli soddisfano talune condizioni al contorno e equazioni integrali alle derivate parziali del primo ordine. Per mezzo di un metodo di approssimazione trigonometrica si costruisce una soluzione ottimale. Controlli ottimali soddisfano una equazione integro differenziale di tipo ellittico. Unicità e controllo ottimale sono discussi.