Questa Nota presenta concise dimostrazioni di alcuni teoremi di confronto relativi ad equazioni ellittiche autoaggiunte e una dimostrazione elementare di un teorema variazionale concernente il primo autovalore di un problema al contorno ellittico. Le dimostrazioni del teorema di confronto basate su un'identità integrale (teorema I°) generalizzano la ben nota identità di Picone per le equazioni differenziali ordinarie. L'applicazione di questa identità rende possibile una semplificazione sostanziale delle dimostrazioni di teoremi di confronto per equazioni ellittiche che furono presentate nei Proceedings of the American Mathematical Society da P. Hartman e A. Winter (1955), dall'autore (1963) e da C. Swanson e C. Clark (1965). L'autore ha recentemente appreso che questa identità integrale (teorema I°) e le sue principali applicazioni (teorema 2°) furono presentate a questa Accademia dal Professor M. Picone nel 1911. L'opera del Professor Picone in tale argomento è stata disgraziatamente trascurata dall'autore e da altri contemporanei scrittori in questo campo, la cui opera sarebbe stata molto avvantaggiata dalla conoscenza di quelle antiche interessantissime note lincee.