In questa Nota viene considerato il primo problema al contorno per l'equazione del tipo ellittico \begin{equation*} \tag{1} a^{ij} u_{x_{i} x_{j}} + b^{i} u_{x_{i}} + cu = 0 \quad (c \ge 0) \end{equation*} in un dominio $G \in A^{2,\alpha}$. L'equazione (1) può degenerare sulla frontiera $S$ del dominio $G$. Si suppone che i coefficienti dell'equazione (1) appartengano alla classe $C^{\alpha} (G)$ e siano limitati in $G$. Si costruisce un insieme $S^{1}$ di $S$ tale che esista una soluzione regolare $u$ dell'equazione (1) limitata in $G$ soddisfacente alla condizione $u = f$ su $S^{1}$. Si dimostra che se una soluzione dell'equazione (1) è limitata in $\overline{G}$ e identicamente nulla su $S^{1}$ essa è identicamente nulla in $G$.