Un operatore $T$ appartiene alla classe ($N$) se per ogni elemento $x$, $\| x \|=1$, $\|Tx\|^{2} \le \|T^{2}x\|$. Allora $\mathfrak{I}(T) = \{ x, \|T^{n}x \| \le \|x\|, n = 1,2,\dots \}$ è un sotto-spazio chiuso e invariante per $T$ e per ogni operatore e commuta con $T$. Nel caso degli operatori normali questo risultato è stato dimostrato da P. R. Halmos.