Abate, Marco:
Sistemi dinamici discreti olomorfi locali
La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana Serie 1 1 (2008), fasc. n.3, p. 409-441, (Italian)
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La teoria dei sistemi dinamici si distingue da altri settori della matematica non per gli oggetti che studia ma per le domande che si pone su di loro. Per esempio, un sistema dinamico discreto è semplicemente un'applicazione (misurabile, continua, differenziable, olomorfa...) di uno spazio in sé. Studiare un'applicazione $f$ dal punto di vista dinamico significa allora studiare il comportamento qualitativo delle iterate $f^{k} = f \circ f \circ \cdots \circ f$ al tendere di $k$ all'infinito.
In questo articolo vogliamo dare un'idea del tipo di questioni che si affrontano in dinamica restringendoci a un argomento limitato ma importante, la dinamica discreta olomorfa locale, che studia il comportamento dinamico di applicazioni olomorfe definite nell'intorno di un punto fisso. Nata alla fine dell'ottocento, più o meno in contemporanea con l'intero campo dei sistemi dinamici, ha avuto un grosso sviluppo negli ultimi trent'anni, con la dimostrazione di importanti risultati e lo sviluppo di nuove significative tematiche e naturali problemi aperti. Ne presenteremo le problematiche di base e i principali risultati ottenuti, evidenziando le idee più significative, almeno nel caso unidimensionale.
Referenze Bibliografiche
[A1] M. ABATE, An introduction to hyperbolic dynamical systems. I.E.P.I. Pisa, 2001.
[A2]
M. ABATE,
Discrete local holomorphic dynamics. In
Proceedings of 13th. Seminar on Analysis and Its Applications, Isfahan 2003. Eds.
S. Azam et al., University of Isfahan, Iran,
2005, 1-32. |
MR 2114495 |
Zbl 1072.37036[Bö] L.E. BÖTTCHER, The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis. Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch., 14 (1904), 155-234.
[Bry1]
A.D. BRYUNO,
Convergence of transformations of differential equations to normal forms.
Dokl. Akad. Nauk. USSR,
165 (
1965), 987-989. |
MR 192098[Bry2]
A.D. BRYUNO,
Analytical form of differential equations, I.
Trans. Moscow Math. Soc.,
25 (
1971), 131-288. |
Zbl 0272.34018[Bry3]
A.D. BRYUNO,
Analytical form of differential equations, II.
Trans. Moscow Math. Soc.,
26 (
1972), 199-239. |
Zbl 0269.34006[C] C. CAMACHO, On the local structure of conformal mappings and holomorphic vector fields. Astérisque, 59-60 (1978), 83-94.
[É1]
J. ÉCALLE,
Les fonctions résurgentes. Tome I: Les algèbres de fonctions résurgentes.
Publ. Math. Orsay,
81-05, Université de Paris-Sud, Orsay,
1981. |
MR 670417 |
Zbl 0499.30034[É2]
J. ÉCALLE,
Les fonctions résurgentes. Tome II: Les fonctions résurgentes appliquées à l'itération.
Publ. Math. Orsay 81-06, Université de Paris-Sud, Orsay,
1981. |
MR 670418 |
Zbl 0499.30035[F2]
P. FATOU,
Sur les équations fonctionnelles, II.
Bull. Soc. Math. France,
48 (
1920, 33-94. |
fulltext EuDML |
MR 1504792[F3]
P. FATOU,
Sur les équations fonctionnelles, III.
Bull. Soc. Math. France,
48 (
1920), 208-314. |
fulltext EuDML |
MR 1504797[He]
M. HERMAN,
Recent results and some open questions on Siegel's linearization theorem of germs of complex analytic diffeomorphisms of $\mathbb{C}^n$ near a fixed point.
Proc. 8th Int. Cong. Math. Phys.,
World Scientific, Singapore,
1986, pp. 138-198. |
MR 915567[I]
YU.S. IL'YASHENKO,
Nonlinear Stokes phenomena. In
Nonlinear Stokes phenomena.
Adv. in Soviet Math.,
14,
Am. Math. Soc., Providence,
1993, 1-55. |
MR 1206041[K]
T. KIMURA,
On the iteration of analytic functions.
Funk. Eqvacioj,
14 (
1971), 197-238. |
MR 302876 |
Zbl 0237.30008[Kœ]
G. KŒNIGS,
Recherches sur les integrals de certain equations fonctionelles.
Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 1 (
1884), 1-41. |
fulltext EuDML[L]
L. LEAU,
Étude sur les equations fonctionelles à une ou plusieurs variables.
Ann. Fac. Sci. Toulouse,
11 (
1897), E1-E110. |
fulltext EuDML |
MR 1508188[M1]
B. MALGRANGE,
Travaux d'Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques.
Astérisque,
92-93 (
1981/82), 59-73. |
fulltext EuDML |
MR 689526[M2]
B. MALGRANGE,
Introduction aux travaux de J. Écalle.
Ens. Math.,
31 (
1985), 261-282. |
MR 819354[Ma] S. MARMI, An introduction to small divisors problems. I.E.P.I., Pisa, 2000.
[Mi]
J. MILNOR,
Dynamics in one complex variable. Third edition.
Annals of Mathematics Studies,
160.
Princeton University Press, Princeton,
2006. |
MR 2193309 |
Zbl 1085.30002[P1]
R. PÉREZ-MARCO,
Sur les dynamiques holomorphes non linéarisables et une conjecture de V.I. Arnold.
Ann. Sci. École Norm. Sup.,
26 (
1993), 565-644. |
fulltext EuDML |
MR 1241470 |
Zbl 0812.58051[P2] R. PÉREZ-MARCO, Topology of Julia sets and hedgehogs. Preprint, Université de Paris-Sud, 1994, 94-48.
[P4] R. PÉREZ-MARCO, Hedgehogs dynamics. Preprint, 1995.
[P5]
R. PÉREZ-MARCO,
Sur une question de Dulac et Fatou.
C.R. Acad. Sci. Paris,
321 (
1995), 1045-1048. |
MR 1360570[S]
A.A. SHCHERBAKOV,
Topological classification of germs of conformal mappings with identity linear part.
Moscow Univ. Math. Bull.,
37 (
1982), 60-65. |
MR 778885 |
Zbl 0508.30015[V]
S.M. VORONIN,
Analytic classification of germs of conformal maps $(\mathbb{C}; 0) \to (\mathbb{C}; 0)$ with identity linear part.
Func. Anal. Appl.,
15 (
1981), 1-17. |
MR 609790[Y1]
J.-C. YOCCOZ,
Linéarisation des germes de difféomorphismes holomorphes de $(\mathbb{C}; 0)$.
C.R. Acad. Sci. Paris,
306 (
1988), 55-58. |
MR 929279[Y2]
J.-C. YOCCOZ,
Théorème de Siegel, nombres de Bryuno et polynômes quadratiques.
Astérisque,
231 (
1995), 3-88. |
MR 1367353