Questa è una rassegna di alcuni risultati recenti su spazi di Hardy nel contesto di gruppi di Lie a crescita esponenziale di volume, che ho presentato nella conferenza da me tenuta a Bologna in occasione del XIX Congresso dell'Unione Matematica Italiana. Faremo un breve cenno alla teoria degli spazi di Hardy in ambito euclideo e al ruolo svolto da tali spazi nell'analisi armonica su $\mathbb{R}^{n}$. La parte cruciale della nostra presentazione consisterà nell'introduzione di una nuova teoria di spazi di Hardy nel contesto dei cosiddetti gruppi $ax + b$, che sono una classe di gruppi di Lie a crescita esponenziale di volume in cui la teoria classica non si applica. Metteremo in luce analogie e differenze tra la nuova teoria e quella classica. I risultati presentati sono pubblicati in un articolo in collaborazione con L. Liu e D. Yang [14], in due articoli in collaborazione con P. Sjögren [22, 23] e in [28, 29].