In questo articolo vengono studiati rivestimenti $X \xrightarrow{\pi} X' \xrightarrow{f} Y$ dove $X$, $X'$, $Y$ sono curve proiettive complesse non singolari e $f$ è un rivestimento di grado $d \geq 3$, con gruppo di monodromia $S_d$, ramificato in $n_2+1$ punti uno dei quali è un punto speciale $c$ la cui monodromia locale ha struttura ciclica data dalla partizione $\underline{e} = (e_1, \ldots, e_r )$ di $d$. Inoltre $\pi$ è un rivestimento ramificato di grado 2 con luogo discriminante contenuto in $f^{-1} (c)$. Se si suppone $n_2 + |\underline{e}| \geq 2d$ dove $|\underline{e}|= \sum_{i=1}^{r}(e_i - 1)$ questi rivestimenti hanno come gruppo di monodromia $G$ un gruppo di Weyl di tipo $D_d$ oppure $B_d$. In questo articolo viene dimostrato che quando $G = W(D_d)$ e $n_2 +|\underline{e}| \geq 2d$ gli spazi di Hurwitz che parametrizzano rivestimenti come sopra sono irriducibili, mentre quando $G=W(B_d)$ non lo sono e, in quest'ultimo caso, ne vengono determinate le componenti connesse. In questo modo viene completato lo studio degli spazi di Hurwitz che parametrizzano rivestimenti con una fibra speciale e con gruppo di monodromia un gruppo di Weyl di tipo $W(B_d)$ iniziato in [22].