In questo articolo si dimostra un risultato di esistenza per una classe di problemi parabolici la cui parte principale è l'operatore $p$-Laplaciano, oppure un operatore più generale del tipo di Leray-Lions, e in cui compare un termine aggiuntivo del primo ordine che cresce come $|\nabla u |^{p}$. Il dominio spaziale in cui si risolve il problema può avere misura infinita, e i dati possono non avere la regolarità necessaria per garantire la limitatezza delle soluzioni. Di conseguenza, si ottengono soluzioni in una classe di funzioni con integrabilità esponenziale. Sotto ipotesi più forti, si prova l'esistenza di soluzioni limitate.