In questo articolo dimostriamo un teorema di esistenza locale per un problema di Cauchy associato ad un'equazione delle onde semilineare in dimensione due. In questo problema la prima condizione iniziale è identicamente nulla, la seconda appartiene a $L^{2}(\mathbb{R}^{2})$, è a simmetria radiale e a supporto compatto. Per dimostrare questo teorema stabiliamo prima una disuguaglianza di tipo Moser–Trudinger per il problema lineare associato e concludiamo grazie ad un'applicazione di un metodo di punto fisso.