Supponiamo che $\{\beta (n)\}^{\infty}_{n=0}$ sia una successione di numeri positivi e $1\leq p < \infty$. Consideriamo lo spazio $H^{p}(\beta)$ di tutte le serie di potenze $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \hat{f}(n)z^{n}$ tali che $\sum_{n=0}^{\infty} |\hat{f}(n)|^{p} \beta(n)^{p} < \infty$. Supponiamo che $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ e $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{qj}}{\beta(n)^{q}} = \infty$ per un intero non-negativo $j$. Dimostriamo che se $C_{\varphi}$ è compatto su $H^{p}(\beta)$, allora il limite non-tangenziale di $\varphi^{(j+1)}$ ha modulo maggiore di uno, in ogni punto della frontiera del disco unitario aperto. Dimostriamo anche che se $C_{\varphi}$ è di Fredholm su $H_{p}(\beta)$, allora $\varphi$ deve essere un automorfismo del disco unitario aperto.