Consideriamo sugli spazi $CL(X)$ dei sottoinsiemi chiusi e non vuoti di uno spazio $X$ completamente metrizzabile la topologia di Wijsman $\tau_{W_{d}}$. Se $X$ è separabile, mostriamo che, per ogni metrica $d$, $e$ su $X$, ogni insieme chiuso e numerabile in $(CL(X), \tau_{W_{e}})$ ha punti isolati in $(CL(X), \tau_{W_{d}})$. Se $d=e$ , questo implica il teorema di Costantini sulla completezza topologica di $(CL(X), \tau_{W_{d}})$. Per $X$ non-separabili, rispondiamo ad una questione sollevata da Zsilinszky, mostrando che in molti casi gli spazi $(CL(X), \tau_{W_{d}})$ contengono copie chiuse dei razionali.