Sia $h$ una funzione moltiplicativa a valori complessi. Per ogni $N\in \mathbb{N}$, calcoliamo il determinante $D_{N}:= \det_{i|N, j|N}\left(\frac{h((i,j))}{ij} \right)$, dove $(i ,j)$ indica il massimo comun divisore di $i$ e $j$, che figurano in ordine crescente in righe e colonne. Precisamente dimostriamo che $$D_{N}= \prod _{p^{l}\| N}\left(\frac{1}{p^{l(l+1)}}\prod_{i=1}^{l}(h(p^{i})-h(p^{i-1})) \right)^{\tau (N/p^{l})}.$$ Dunque $D_{N}^{1/\tau(N)}$ è effettivamente una funzione moltiplicativa di $N$ . L'apparato algebrico associato a questo risultato ci consente di dimostrarne altri due. Il primo è la caratterizzazione delle funzioni reali moltiplicative $f(n)$, con $0\leq f (p)<1$, come valori minimi di certe forme quadratiche sulla sfera unità $\tau(N)$ dimensionale. Il secondo è la determinazione esplicita dei valori minimi di certe altre forme quadratiche su detta sfera.