In questo lavoro riprendiamo la trattazione del cosiddetto fenomeno di $L^{p}$-improving per curve nel gruppo di Heisenberg iniziato nel precedente articolo [7]. Il problema riguarda lo studio delle proprietà di limitatezza $L^{p}$-$L^{q}$ per operatori di convoluzione con misure finite a supporto su curve nel gruppo di Heisenberg. Sia $\Gamma$ una curva $C^{\infty}$ regolare nel gruppo di Heisenberg $\mathbb{H}_{1}$ definita da $$ \Gamma \colon I \to \mathbb{H}_{1}\qquad s\mapsto \Gamma(s)=(\psi_{1}(s), \psi_{2}(s),\psi_{3}(s)) $$ dove $I$ è un intervallo limitato di $\mathbb{R}$ e $\psi_{1}(s)$, $\psi_{2}(s)$, $\psi_{3}(s)$ sono funzioni $C^{\infty}$ a valori reali. Definita la misura $$ \langle \mu, f \rangle= \int_{I}f(\Gamma(s)) \, ds \quad f\in C_{c}(\mathbb{H}_{1})$$ consideriamo il corrispondente operatore di convoluzione a destra con $\mu$$$Tf(w)= f * \mu(w)= \int_{I}f(w\cdot(\Gamma(s))^{-1})\,ds \quad w\in \mathbb{H}_{1}.$$ Nella prima parte di questo lavoro forniamo alcune limitazioni sull'insieme caratteristico $$\mathcal{T}=\left\{\left( \frac{1}{p},\frac{1}{q}\right)\in [0,1]\times [0,1] \,:\, T \text{ è limitato da } L^{p}(\mathbb{H}_{1}) \text{ a } L^{q}(\mathbb{H}_{1}) \right\} $$ dell'operatore $T$, precisamente proviamo che l'insieme $\mathcal{T}$ è contenuto nel trapezio chiuso di vertici $$A=(0,0), \quad B=(1,1), \quad C= (2/3, 1/2), \quad D=(1/2, 1/3).$$ Nella seconda parte di questo lavoro focalizziamo invece l'attenzione su curve nel gruppo di Heisenberg $\mathbb{H}_{1}$ aventi vettore tangente nell'origine parallelo al centro del gruppo. Più precisamente, consideriamo una curva $\gamma(s)$ data da \begin{equation}\label{1}\tag{1} \gamma \colon I \to \mathbb{H}_{1} \qquad s\mapsto \gamma(s)=(s^{m},s^{n},s) \end{equation} dove $I=[0,R]$, $R>0$, e $m$, $n$ sono numeri reali distinti maggiori di uno. Proviamo che l'insieme caratteristico dell'operatore $U$ definito dalla formula $$Uf(w)=\int_{I} f(w\cdot(\Gamma(s))^{-1}) \quad w \in \mathbb{H}_{1}$$ è contenuto nel trapezio chiuso di vertici $A=(0,0), B=(1,1), P_{1}=\left(\frac{m+n-1}{m+n+1},\frac{m+n-2}{m+n+1} \right), P_{2}=\left(\frac{3}{m+n+1},\frac{2}{m+n+1} \right) $ con la sola possibile eccezione del segmento chiuso congiungente i due punti $P_{1}$ e $P_{2}$ se $m+n\geq 5$, ed è l'intero trapezio chiuso $ABCD$ se $m+n<5$. I risultati ottenuti per l'operatore $U$ rimangono validi sostituendo la curva (1) con una più generale curva $\Gamma(s)=(s^{m}+o(s^{m}), s^{n}+ o(s^{n}), s)$, per $s$ in un intorno dell'origine.