$M_{1}$ è un particolare operatore di minimizzazione per forme di Dirichlet definite su un sottoinsieme finito di un frattale $K$ che è, in un certo senso, una sorta di frontiera di $K$. Viene talvolta chiamato mappa di rinormalizzazione ed è stato usato per definire su $K$ un analogo del funzionale $u \mapsto \int |\text{grad} u|^{2}$ e un moto Browniano. In questo lavoro si provano alcuni risultati sull'unicità dell'autoforma (rispetto a $M_{1}$ ), e sulla convergenza dell'iterata di $M_{1}$ rinormalizzata. Questi risultati sono collegati con l'unicità del moto Browniano e con l'omogeneizzazione sui frattali.