Sia a un intero algebrico con il polinomio minimale $f(X)$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti affinché l'anello $\mathbb{Z}[\alpha]$ sia seminormale o $t$-chiuso per mezzo di $f(X)$. Come applicazione, in particolare, si ottiene che se $f(X)=X^{3}+aX+b$, $a$, $b \in \mathbb{Z}$ le condizioni sono espresse mediante il discriminante de $f(X)$.