Si considera, in uno spazio di Hilbert $H$ l'operatore lineare $\mathfrak{M}_{0}\varphi= 1/2 \, \text{Tr}\, [D^{2}\varphi]+\langle x,AD\varphi \rangle - \langle DU(x),D\varphi \rangle$, dove $A$ è un operatore negative autoaggiunto e $U$ è un potenziale che soddisfa a opportune condizioni di integrabilità. Si dimostra con un metodo analitico che $\mathfrak{M}_{0}$ è essenzialmente autoaggiunto in uno spazio $L^{2} (H, \nu)$ e si caratterizza il dominio della sua chiusura $\mathfrak{M}$ come sottospazio di $W^{2,2}(H, \nu)$. Si studia inoltre la «spectral gap property» del semigruppo generato da $\mathfrak{M}$.