Doplicher, Sergio and Pinzari, Claudia and Zuccante, Rita:
The $C^{*}$-algebra of a Hilbert bimodule
Bollettino dell'Unione Matematica Italiana Serie 8 1-B (1998), fasc. n.2, p. 263-282, Unione Matematica Italiana (English)
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Un $C^{*}$-modulo hilbertiano destro $X$ su una $C^{*}$-algebra $\mathcal{A}$ dotato di uno ${}^{*}$-omomorfismo isometrico $\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{L}_{\mathcal{A}}(X)$ viene qui considerato come un oggetto $X_{\mathcal{A}}$ della $C^{*}$-categoria degli $\mathcal{A}$-moduli Hilbertiani destri. Come in [11], associamo ad esso una $C^{*}$-algebra $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ contenente $X$ come un «$\mathcal{A}$-bimodulo hilbertiano in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$». Se $X$ è pieno e proiettivo finito $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ è la $C^{*}$-algebra $C^{*}(X)$, la generalizzazione delle algebre di Cuntz-Krieger introdotta da Pimsner [27] (e in un caso particolare da Katayama [31]). Più in generale, $C^{*}(X)$ è canonicamente immersa in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ come la $C^{*}$-sottoalgebra generata da $X$. Reciprocamente, se $X$ è pieno $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ è canonicamente immersa in $C^{*}(X)^{**}$. Inoltre, considerando $X$ come un oggetto ${}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}$ della $C^{*}$-categoria degli $\mathcal{A}$-bimoduli hilbertiani, associamo ad esso una $C^{*}$-sottoalgebra $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ di $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ che commuta con $\mathcal{A}$, su cui $X$ induce un endomorfismo canonico $\varrho$. Discutiamo condizioni sotto le quali $\mathcal{A}$ ed $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ sono l'uno il commutante relativo dell'altro ed $X$ è precisamente il sottospazio degli operatori di allacciamento in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ tra l'identità e $\varrho$ su $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$. Discutiamo anche condizioni che implicano la semplicità di $C^{*}(X)$ o di $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$; in particolare, se $X$ è proiettivo finito e pieno, $C^{*}(X)$ è semplice se $\mathcal{A}$ è $X$-semplice e lo «spettro di Connes» di $X$ è $\mathbb{T}$.
Referenze Bibliografiche
[1]
B.
ABADIE
-
S.
EILERS
-
R.
EXEL
,
Morita equivalence for crossed products by Hilbert $C^{*}$-bimodules, preprint (
1995). |
MR 1467459 |
Zbl 0899.46053[2]
B.
BLACKADAR
, K-theory for $C^{*}$-algebras, MSRI publications, (1986).
[4]
L. G.
BROWN
-
P.
GREEN
-
M. A.
RIEFFEL
,
Stable isomorphism and strong Morita equivalence of $C^{*}$-Algebras,
Pacific J. Math.,
71, No 2 (
1977), 349-363. |
fulltext mini-dml |
MR 463928 |
Zbl 0362.46043[5]
L. G.
BROWN
-
J.
MINGO
-
N.
SHEN
,
Quasi-multipliers and embeddings of Hilbert $C^{*}$-bimodules,
Canad. J. Math.,
46, No. 6 (
1994), 1150-1174. |
MR 1304338 |
Zbl 0846.46031[6]
T.
CECCHERINI
-
S.
DOPLICHER
-
C.
PINZARI
-
J. E.
ROBERTS
,
A generalization of the Cuntz algebras and model actions,
J. Funct. Anal.,
125 (
1994), 416-437. |
MR 1297675 |
Zbl 0816.46068[8]
J.
CUNTZ
-
W.
KRIEGER
,
A class of $C^{*}$-algebras and topological Markov chains,
Invent. Math.,
56 (
1980), 251-268. |
MR 561974 |
Zbl 0434.46045[9]
S.
DOPLICHER
-
J. E.
ROBERTS
,
Compact group actions on $C^{*}$-algebras,
J. Op. Th.,
19 (
1988), 283-305. |
MR 960981 |
Zbl 0689.46020[10]
S.
DOPLICHER
-
J. E.
ROBERTS
,
Endomorphisms of $C^{*}$-algebras, crossed products and duality for compact groups,
Ann. Math.,
130 (
1989), 75-119. |
MR 1005608 |
Zbl 0702.46044[11]
S.
DOPLICHER
-
J. E.
ROBERTS
,
A new duality theory for compact groups,
Invent. Math.,
98 (
1989), 157-218. |
MR 1010160 |
Zbl 0691.22002[12]
S.
DOPLICHER
-
J. E.
ROBERTS
,
Why there is a field algebra with a compact gauge group describing the superselection structure in particle physics,
Commun. Math. Phys.,
131 (
1990), 51-107. |
fulltext mini-dml |
MR 1062748 |
Zbl 0734.46042[13]
G. A.
ELLIOTT
,
Some simple $C^{*}$-algebras constructed as crossed products with discrete outer automorphism groups,
Publ. RIMS, Kyoto Univ.,
16 (
1980), 299- 311. |
fulltext mini-dml |
MR 574038 |
Zbl 0438.46044[14]
R.
EXEL
,
A Fredholm operator approach to Morita equivalence,
K-theory,
7 (
1993), 285-308. |
MR 1244004 |
Zbl 0792.46051[16]
G.
KASPAROV
,
Hilbert $C^{*}$-modules: theorems of Stinespring and Voiculescu,
J. Op. Th.,
4 (
1980), 133-150. |
MR 587371 |
Zbl 0456.46059[17]
T.
KAJIWARA
-
Y.
WATATANI
, Jones index theory by Hilbert $C^{*}$-bimodules and Ktheory, preprint, University of Okayama.
[18]
T.
KAJIWARA
-
C.
PINZARI
-
Y.
WATATANI
,
Ideal structure and simplicity of the $C^{*}$-algebras generated by Hilbert bimodules, preprint, Università di Roma «Tor Vergata». |
fulltext mini-dml |
MR 1658088 |
Zbl 0942.46035[20]
M.
IZUMI
, Index theory of simple $C^{*}$-algebras, Seminar given at the Fields Institute, in the Workshop on Subfactors.
[25]
D.
OLESEN
-
G. K.
PEDERSEN
,
Applications of the Connes spectrum to $C^{*}$-dynamical systems,
J. Funct. Anal.,
30 (
1978), 179-197;
III,
45 (
1982), 357-390. |
Zbl 0391.46051[26]
G. K.
PEDERSEN
,
$C^{*}$-algebras and their Automorphism Groups,
Academic Press, New York (
1990). |
MR 548006 |
Zbl 0416.46043[27]
M.
PIMSNER
,
A class of $C^{*}$-algebras generalizing both Cuntz-Krieger algebras and crossed products by Z, in:
Free Probability Theory, D.-V. Voiculescu Ed.,
AMS (
1997). |
MR 1426840 |
Zbl 0871.46028[29]
K.-H.
REHREN
,
Braid group statistics and their superselection rules, in
The Algebraic Theory of Superselection Sectors, D. Kastler Ed.,
World Sci. P. Co., (
1990). |
MR 1147467[30]
M. A.
RIEFFEL
,
Induced representations of $C^{*}$-algebras,
Adv. Math.,
13 (
1974), 176-257. |
MR 353003 |
Zbl 0284.46040[31]
Y.
KATAYAMA
, Generalized Cuntz algebras $\mathcal{O}_{N}^{M}$, Rims, Kokioroku, 858 (1994), 131-151.