In questa nota dimostriamo stime asintotiche ottimali per le soluzioni deboli non negative del problema al contorno \begin{equation*} -\Delta_{\mathbb{H}^{n}}u=u^{(Q+2)/(Q-2)} \quad in \Omega, \quad u=0 \text{ in } \partial\Omega. \tag*{(*)} \end{equation*}$-\Delta_{\mathbb{H}^{n}}$ è il Laplaciano di Kohn sul gruppo di Heisenberg $\mathbb{H}^{n}$, $\Omega$ è un aperto non limitato e $Q=2n+2$ è la dimensione omogenea di $\mathbb{H}^{n}$. Utilizziamo successivamente le stime ottenute per dimostrare un teorema di non esistenza per (*) nel caso in cui $\Omega$ sia un semispazio di $\mathbb{H}^{n}$ con bordo parallelo al centro del gruppo.