È dato lo sviluppo del determinante di Vandermonde formato con le successive potenze delle radici n-esime dell'unità e sono calcolati i complementi algebrici dei suoi elementi. È dimostrato che il prodotto di $\sin^{n-k}\frac{k\pi}{n}$ per $k = 1, 2, \ldots$ fino al massimo intero contenuto in $\frac{n-1}{2}$ vale $\sqrt{n\cdot 2^{1-n}}$